ความ เป็นทั่วไปของความเป็นเส้นตรง อาจเป็นทางลัดที่ทรงพลังที่สุดในทฤษฎีความน่าจะเป็น มันช่วยให้เราคำนวณค่าคาดหมายของผลรวมของตัวแปรสุ่มโดยแค่บวกค่าคาดหมายของแต่ละตัวแปรเข้าด้วยกัน — โดยไม่จำเป็นต้องพิจารณาความเป็นอิสระ ความสัมพันธ์ หรือความเป็นอันตรายซึ่งกันและกัน
1. รากฐานและข้อเสนอ 2.1
เพื่อเข้าใจว่าทำไมค่าคาดหมายถึงมีพฤติกรรมเป็นเชิงเส้นอย่างนี้ เราจะพิจารณา กฎของนักสถิติที่ไม่ตั้งใจ (LOTUS) สำหรับระบบหลายตัวแปร ข้อเสนอ 2.1 กล่าวไว้ว่า ถ้า $X$ และ $Y$ มีฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นร่วม $p(x, y)$ แล้ว ค่าคาดหมายของฟังก์ชันใด ๆ $g(X, Y)$ จะเป็น:
$$E[g(X, Y)] = \sum_{y} \sum_{x} g(x, y) p(x, y)$$
สำหรับตัวแปรต่อเนื่องที่มีฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นร่วม $f(x, y)$ รูปแบบอินทิกรัลที่เทียบเท่าคือ:
$$E[g(X, Y)] = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} g(x, y) f(x, y) dx dy$$
2. หลักการของความเป็นเส้นตรง
โดยการประยุกต์ใช้ LOTUS กับฟังก์ชัน $g(X, Y) = X + Y$ เราจะได้ทฤษฎีบทหลักของบทเรียนนี้: $E[X + Y] = E[X] + E[Y]$. ซึ่งขยายไปยังชุดจำกัดใด ๆ ได้อย่างเป็นธรรมชาติ:
$E\left[\sum_{i=1}^n X_i\right] = \sum_{i=1}^n E[X_i]$
นี่คือ 'ทั่วไป' เพราะไม่จำเป็นต้องสมมุติเกี่ยวกับการแจกแจงร่วม ไม่ว่าตัวแปรจะเป็นอิสระหรือมีความสัมพันธ์กันมากแค่ไหน ค่าเฉลี่ยของผลรวมก็คือผลรวมของค่าเฉลี่ย
ตัวอย่าง 2a: ปัญหารถพยาบาล
พิจารณาอุบัติเหตุที่ตำแหน่ง $X$ บนถนนยาว $L$ และรถพยาบาลอยู่ที่ $Y$ โดยที่ $X, Y \sim U(0, L)$ และเป็นอิสระต่อกัน การใช้ LOTUS แบบหลายตัวแปรเพื่อหา $E[|X-Y|]$:
ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นร่วมคือ $f(x, y) = 1/L^2$ สำหรับ $0 \le x, y \le L$
$$E[|X-Y|] = \int_0^L \int_0^L |x-y| \frac{1}{L^2} dx dy = \frac{L}{3}$$
3. ความเป็นลำดับและการจำกัด
ค่าคาดหมายคงลำดับของตัวแปรสุ่มไว้ หาก $X \ge Y$ สำหรับทุกผลลัพธ์ แล้ว $E[X] \ge E[Y]$. ซึ่งตามมาจากการ ตัวอย่าง 2b: ถ้า $X - Y \ge 0$ แล้ว $E[X - Y] \ge 0$ นอกจากนี้ ถ้าตัวแปรถูกจำกัดไว้ เช่น $P\{a \le X \le b\} = 1$แล้วจะได้ว่า $a \le E[X] \le b$.
4. ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง (ตัวอย่าง 2c)
ให้ $X_1, \dots, X_n$ เป็นตัวอย่างจากประชากรที่มีค่าเฉลี่ย $\mu$ ค่า ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง ถูกนิยามว่าเป็น:
$$\bar{X} = \sum_{i=1}^{n} \frac{X_i}{n}$$
เนื่องจากความเป็นเส้นตรง $E[\bar{X}] = \frac{1}{n} \sum E[X_i] = \frac{n\mu}{n} = \mu$ ค่าคาดหมายของค่าเฉลี่ยตัวอย่างคือ $\mu$ซึ่งพิสูจน์ว่าเป็นตัวประมาณที่ไม่มีอคติ
- ตัวแปร $X_i$ ทั้งหมดเป็นตัวแปรสุ่มนั้นไม่ลบ
- อนุกรมนี้มีการเปลี่ยนแปลงอย่างสมบูรณ์: $\sum_{i=1}^\infty E[|X_i|] < \infty$